Equation de transport-diffusion par approximation à schéma explicite

Abstract

Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude des équations de transport-diffusion, qui jouent un rôle ondamental dans la modélisation de divers phénomènes physiques, biologiques et vironnementaux.L’originalité de cette thèse se divise en deux études principales. La première est consacrée à l’étude du comportement asymptotique de l’équation de Lotka-Volterra dans un cadre élargi incluant l’effet de déplacement et l’effet de diffusion c’est-à-dire l’étude asymptotique pour un système d’équations de transport-diffusion décrivant l’évolution des populations de proies et de prédateurs avec leurs déplacements et leur diffusion, dans un domaine périodique dans R. Nous y établissons des résultats sur la bornitude de la solution de cette équation et son logarithme, ainsi que la convergence uniforme de la solution de l’équation par rapport aux variables temporelles et spatiales vers la solution stationnaire lorsque la solution converge vers la solution stationnaire en valeur moyenne. En nous appuyant sur l’estimation L2 de la fonctionnelle de Lyapunov bien connue, et en particulier l’estimation de la croissance ponctuelle de la solution par l’application de la solution fondamentale de l’équation de la chaleur. La seconde concerne l’étude numérique d’un système d’équations de transport-diffusion reformulé en système d’équations intégro-différentielles de Volterra de seconde espèce, pour lequel nous proposons un schéma explicite efficace basé sur l’utilisation des polynômes de Taylor. La convergence de la méthode est analysée, démontrant que la méthode fournit des résultats fiables et précis. Afin de valider l’efficacité de l’approche, des exemples numériques sont présentés, comparant les solutions obtenues avec les solutions exactes pour confirmer les estimations théoriques et illustrer la précision et la stabilité de la méthode. Cette thèse propose à la fois des avancées théoriques et des développements numériques, qui contribuent à une meilleure compréhension des systèmes de transport-diffusion et ouvrent la voie à des extensions vers des modèles non linéaires plus complexes